pondělí 5. ledna 2009

Keith Devlin a Jazyk matematiky

Kniha Keitha Devlina Jazyk matematiky tak trochu klame názvem. Ten slibuje, že se kniha bude věnovat především matematické logice a metamatematice. Většina knihy je však vyplněna popularizací matematiky samé a to především matematiky starší. Ale Keith Devlin popularizuje mistrně, a proto si tato kniha zaslouží být čtena. Ale ani otázku „co je to matematika?“ rozhodně nenechává Devlin stranou.

Co je to matematika? Položíme-li tuto otázku náhodnému kolemjdoucímu, uslyšíme pravděpodobně následující odpověď: „Matematika – to jsou počty.“ Když ho budeme chtít trochu popíchnout, aby nám vysvětlil, jaké počty má na mysli, možná se nám dostane odpovědi, že jde o vědu o číslech. Dál bychom se asi nedostali. Ale takto chápaný popis
matematiky přestal platit již před 2 500 lety!
Keith Devlin – Jazyk matematiky

Tak co je tedy matematika?

Při tak ohromném rozvoji by se mohlo zprvu zdát, že na otázku „Co je to matematika?“ máme jednoduchou, i když trochu povrchní odpověď: „Je to vše, čím se zabývají matematikové.“ Určitý obor spadal do matematiky ne podle toho, co bylo předmětem zkoumání, ale podle toho, jak to bylo zkoumáno – tedy podle užité metodologie. V posledních asi třiceti letech byla zformulována definice matematiky, se kterou většina dnešních matematiků souhlasí: matematika je vědou o strukturách. Matematik zkoumá abstraktní numerické struktury, struktury tvarů, zákony pohybu, principy chování a rozhodování, podstatu pravděpodobnosti atd. Všechny struktury mohou být skutečné nebo uměle sestavené, zjevné nebo skryté, statické nebo dynamické, kvalitativní nebo kvantitativní, ryze účelové nebo vymyšlené jen tak pro zábavu. Jejich podstata vychází ze světa, který nás obklopuje, z hlubin prostoru a času i z labyrintu lidské mysli.
Keith Devlin – Jazyk matematiky

Jestliže je matematika vědou o strukturách (patterns), co je to tedy ta struktura? Na tuto otázku již tato kniha neodpovídá. Snad jen nechce opakovat, co bylo napsáno v knize The Science of Patterns. Nabízí však jinou zajímavou úvahu:

Současné matematické knihy se zdají být symboly přímo zahlceny, ale matematický znak ještě není sám o sobě matematikou, tak jako notový part ještě není hudbou. Notový list hudbu jen zapisuje; ovšem samotnou melodii uslyšíme, až když ji podle not zazpíváme nebo přehrajeme na hudebním nástroji. Teprve během představení hudba ožije a my ji můžeme prožít. Hudba nevzniká okamžikem notového zápisu, ale teprve ve chvíli, kdy pronikne do naší mysli. Totéž platí pro matematiku. Symboly na stránce jsou pouhými zástupnými znaky. Pokud se však dostanou do rukou vnímavému čtenáři, jako by obživly. Matematika pak žije a dýchá v jeho mysli jako nějaká abstraktní symfonie.
Keith Devlin – Jazyk matematiky

Toto přirovnání je nádherné. Otázka je, zda je taky případné. Kdyby někdo tvrdil, že a = a nemůže být pravdivé, protože se první a liší od druhého a přinejmenším polohou, a co se liší, není rovné, museli bychom namítnout, že si plete symboly a skvrny na papíře (nebo na monitoru). Skvrny na papíře ještě nejsou noty. A je pravda, že noty ještě nejsou hudba. Skvrny na papíře ještě nejsou matematické symboly. Je však matematika vždy něco více než symboly? Platón by se zápornou odpovědí prudce nesouhlasil. Takto mluví o geometrech:

Nuže, jak také dále víš, užívají viditelných podob a vykládají o nich, aniž mají na mysli tyto, nýbrž ony, které tyto představují, jako například jest účelem jejich výkladu čtverec sám a úhlopříčka sama, a ne ta, kterou kreslí, a tak dále; tyto jejich výtvory a výkresy mohou způsobovati i stíny i obrazy na vodních hladinách, ale oni jich samých užívají zase jako obrazů, hledíce však spatřiti ona jsoucna sama, jichž není možno spatřiti jinak než myšlením.
Platón – Ústava

Moderní doba to však již vidí trochu jinak. Na tuto otázku (možná nevědomě) naráží Devlin na konci knihy.

Věta čtyř barev se stala první větou, jejíž úplný důkaz nikdo nemůže přečíst celý. V jednotlivých krocích důkazu se analyzuje tak obrovský počet případů, že je žádný člověk není schopen sám sledovat. Matematici se proto museli spokojit se zkontrolováním počítačového programu, který všechny případy prověřil.
Keith Devlin – Jazyk matematiky

Tak přeci jenom svěřujeme alepoň část matematiky strojům.

Žádné komentáře: