Skolem dokázal teorém, že model spočetné množiny prvořádových výroků (jakou je třeba aritmetika nebo teorie množin) obsahuje spočetný podmodel těchto výroků. Přitom teorie množin nespočetné množiny postuluje. Goldfarb o tom píše toto:
Jak je dobře známo, Skolem svůj teorém používá k tomu, aby ukázal naprostou relativitu pojmů teorie množin. Je těžké, ne-li nemožné, z jeho stručných poznámek získat jakýkoli jasný argument proti existenci Cantorova nebe. Skolem se ani tolik nepře o pouhou víru v množiny, ale spíše o představu, že axiomatická teorie množin může sloužit ke skutečně principiálnímu, epistemologickému účelu. Na konci své práce říká, že tohoto výsledku dosáhl o sedm let dříve, ale nic nepublikoval, protože: „... jsem věřil, že je zcela zřejmé, že axiomatizace prostřednictvím množin není natolik přijatelným základem matematiky, aby se tím matematici zabývali.“ Ve skutečnosti Skolem kritizuje aspekt či podtón názorů na základy matematiky, ten aspekt, který jsme viděli u Russella: naše konání uvnitř formálního jazyka je způsob, jak dosáhnout nekonečna. Skolemovi jde o to, aby ukázal, že s formálním jazykem nic takového dosáhnout nemůžeme, a že nám formální explikace nemůže poskytnout plné porozumění. Skolem byl vytrvalým oponentem všech formalistických a logistických základových programů; zastával názor, že jakékoli základy, které v matematice existují, spočívají na tom, co nazýval „rekurzivním způsobem myšlení“. A při vývoji primitivní rekurzivní aritmetiky tudíž nebuduje pro tuto disciplínu formální systém, ale postupuje naprosto intuitivním způsobem.
Warren D. Goldfarb – Logika ve dvacátých letech: povaha kvantifikátoru
Žádné komentáře:
Okomentovat