čtvrtek 26. února 2009

O základním problému vědy o třídách

Pro konečné množiny platí, že množina všech jejich podmnožin má větší počet prvků, než původní množina, což je tak jasné, že to nepotřebuje důkaz, ale pro puntičkáře nabízím tento:

Mějme konečnou množinu M = {a, b, c, ...}. Množina všech podmnožin ℘(M) musí kromě jiného obsahovat neprázdné množiny {a}, {b}, {c}, ..., kterých je stejně jako prvků množiny M. Kromě toho obsahuje i prázdnou množinu. Počet prvků ℘(M) je tedy alespoň o 1 větší než počet M.

Lze i snadno vypočítat kolik. Každou podmnožinu množiny s n různými prvky lze reprezentovat jako posloupnost (p1, p2, ..., pn), kde pi je 0 nebo 1 podle toho, zda i-tý prvek do podmnožiny patří nebo ne. Tudíž počet prvků ℘(M) je 2n.

U nekonečných množin je třeba pracovat s pojmy opatrněji. Snad nikdo nebude protestovat proti tomu, že jestliže existuje zobrazení 1 ku 1 prvků jedné množiny na prvky množiny druhé, pak mají tyto množiny stejnou mohutnost. Hilbertův nekonečný hotel je brilantní ukázkou, že leckteré různorodé nekonečné množiny mají stejnou mohutnost. Ukazuje např., že sudých čísel je stejně jako všech přirozených čísel, protože existuje ono zobrazení 1 ku 1:

1:2, 2:4, 3:6, ..., n:(2n), ...


Mají tedy všechny nekonečné množiny stejnou mohutnost? Tzv. diagonálním důkazem se lze přesvědčit, že ne. Tento důkaz je důkaz sporem. Tento druh důkazu ukazuje, že z negace tvrzení vyplývají sporná tvrzení, a proto musí být negace nepravdivá. A jak je to s počtem všech podmnožin nekonečné množiny? Označím-li N množinu přirozených čísel N = {0, 1, 2, ...}, pak je každá podmnožina N reprezentována nekonečnou posloupností nul a jedniček. Tyto nekonečné posloupnosti nelze očíslovat přirozenými čísly, protože pro každé očíslování všech posloupností


0: p0,0, p0,1, p0,2, p0,3, ...
1: p1,0, p1,1, p1,2, p1,3, ...
2: p2,0, p2,1, p2,2, p2,3, ...
3: p3,0, p3,1, p3,2, p3,3, ...
...

existuje podmnožina reprezentovaná posloupností

q0, q1, q2, q3, ...,

kde qi = (1 - pi,i), která se od každého prvku tohoto očíslování liší alespoň v jednom konečném místě, a tedy nepatří do takto očíslované množiny, což je spor. Množina všech podmnožin přirozených čísel je tedy mohutnější než mohutnost množiny přirozených čísel. Jinými slovy platí

20 > ℵ0.

Toto tvrzení lze zobecnit do následující věty

2n > ℵn.

O tom všem vypráví následující článek Georga Ferdinanda Ludwiga Philipa Cantora nazvaný "Über ein elementare Frage der Mannigfaltigkeitslehre", který byl publikován v roce 1891, a který se pro svou jednoduchost a srozumitelnost dostává do základní literatury i nematematiků. Tato Cantorova práce ukazuje, že neexistuje jen jediná nekonečná mohutnost, a ukazuje alespoň kousek z Cantorova nebe.

V článku nazvaném "O vlastnosti souhrnů všech reálných algebraických čísel: ("Über eine Eigenschaft des Inbegriffs aller reellen algebraischen Zahlen" - In Journ. Math. Bd. 77, S. 258) se - pravděpodobně poprvé - objevuje důkaz tvrzení, že existuje nekonečná třída, kterou nelze jedna ku jedné přiřadit ke všem konečným celým číslům, neboli, jak jsem si zvykl říkat, která nemá mohutnost posloupnosti čísel 1, 2, 3, ... , ν , .... Z tohoto tvrzení dokázaného v §2 např. plyne, že třída všech reálných čísel v libovolném intervalu (α ... β) nemůže být seřazena v posloupnost

ω1, ω2, ... , ων , ....

Avšak existuje důkaz, který je mnohem jednodušší, a ve kterém nejsou brány do úvahy vlastnosti iracionálních čísel.

Nechť jsou tedy m a w dva rozdílné znaky a uvažujeme soubor M prvků

E = (x1, x2, ..., xν, ... ),

který závisí na nekonečném množství složek x1, x2, ... , xν , ..., kde každá složka je buď m nebo w. Budiž M třída všech možných E.

Do M patří následující tři prvky:

EI = (m,m,m,m, ... ),
EII = (w,w,w,w, ... ),
EIII = (m,w,m,w, ... ).

Chci dokázat, že třída M nemá mohutnost posloupnosti 1, 2, ... , ν, ....

Plyne to z následujícíto tvrzení:

"Jestliže E1, E2, ... , Eν , ... je libovolná spočetně nekonečná posloupnost prvků třídy M, pak vždy existuje prvek E0 třídy M, který není žádným prvkem Eν."

Důkaz předpokládá tuto posloupnost:

E1 = (a1,1, a1,2, ... , a1,ν, ... ),
E2 = (a2,1, a2,2, ... , a2,ν , ... ),
...
Eμ = (aμ,1, aμ,2, ... , aμ,ν , ... ),
...

kde znak aμ,ν je buď m anebo w. Pak existuje posloupnost b1, b2, ... , bν ,... definovaná tak, že bν je také buď m anebo w, ale je vždy různá od aν,ν. A tedy, je-li aν,ν = m, je bν = w, a naopak.

Uvažujme nyní prvek třídy M

E0 = (b1, b2, b3, ... )

a přímo vidíme, že rovnost

E0 = Eν

nemůže nastat pro žádné přirozené číslo μ, protože by jinak pro nějaké μ platila pro všechny hodnoty ν rovnost

bν = aμ,ν,

a tedy ve speciálním případě by platila rovnost

bμ = aμ,μ,

což je spor s definicí bν. Z tohoto tvrzení bezprostředně plyne, že mohutnost všech prvků M nemůže být seřazena v posloupnost E1, E2, ... , Eν, ..., protože jinak bychom dostali spor, jelikož by objekt E0 zároveň byl i nebyl prvkem M.

To, čím tento důkaz překvapuje, je nejen jeho jednoduchost, ale především je to uvedený princip, který lze přímo použít k důkazu obecnějšího tvrzení, že mohutnosti tříd nemají žádné maximum, neboli, že ke každé zvolené třídě L existuje jiná třída M, jejíž mohutnost je větší než mohutnost L.

Nechť je např. L lineárně uspořádané spojitá třída jako třeba třída všech reálných čísel, který jsou ≥ 0 a ≤ 1. Označme M třídu všech funkcí proměnné x, které nabývají jen hodnoty 0 nebo 1, přičemž x je proměnná pro všechna reálná čísla jež jsou ≥ 0 a ≤ 1.

Třída M nemůže mít menší mohutnost než L, protože existují třídy prvků M mající stejnou mohutnost jako L. Je to např. třída tvořená funkcemi proměnné x, kteréžto funkce nabývají hodnotu 1 v jednom jediném bodě x0 a pro ostatní x nabývají hodnotu 0.

Ale třída M nemůže mít ani stejnou mohutnost jako L. Pokud by bylo možné třídu M srovnat s hodnotami proměnné z, pak by bylo možné reprezentovat M jako funkci obou proměnných x a z

φ(x, z),

takovou, že pro určitou hodnotu proměnné z dostaneme prvek f(x) = φ(x, z) třídy M, a zároveň pro každou f(x) z třídy M by odpovídala φ(x, z) pro jedinečnou volbu hodnoty z.Což je opět spor. Jestliže je g(x) je funkce proměnné x nabývající jen hodnot 0 a 1, která je pro všechny hodnoty x různá od φ(x, z), pak je g(x) jednak prvek M, a jednak pro žádnou hodnotu z = z0 nelze tuto funkci definovat jako φ(x, z), protože φ(x0, z0) je vždy různé od g(z0).

Jelikož mohutnost třídy M není ani menší ani rovna mohutnosti L, musí být tato mohutnost větší než mohutnost L. (Viz Crelles Journal Bd. 84, S. 242.)

V článku "Základy obecných tříd" ("Grundlagen einer allgemeinen Mannigfaltigkeitlehre") (Leipzig 1883) jsem jiným způsobem dokázal, že mohutnosti nemají maximum. Dokonce jsem dokázal, že třída všech mohutností, když ji uspořádáme podle velikostí, je dobře "dobře uspořádaná", že ke každé mohutnosti existuje mohutnost větší, a také že ke každé shora neohraničené třídě mohutností existuje ještě větší mohutnost.

Tyto mohutnosti představují jediné a nutné zobecnění konečných kardinálních čísel a nejsou tedy než aktuálně nekonečně velká kardinální čísla a patří jim stejné bytí a ostrost jako oněm konečným.Pouze zákony, jimž podléhají, nazvané teorie čísel, se částečně liší od zákonů univerza konečných čísel.

Další objevy v této oblasti přijdou v budoucnu.

středa 25. února 2009

Nětočka Nězvanovová

Bývají minuty, kdy všecky rozumové a duševní síly, bolestně se napínajíce, zapálí se náhle jasným plamenem vědomí, a v tu chvíli se otřesené duši něco prorockého zdá. (...) Tenkrát chce se úžasně žít; srdce prosí o budoucnost se všemi jejími tajemstvími, ale i bouřemi a přívaly.
F. M. Dostojevskij – Nětočka Nězvanovová

úterý 24. února 2009

Matematická intuice

Podle intuicionistů matematická existence se nedefinuje nesporností, nýbrž konstruovatelností. „Matematika je spíše činnost nežli nauka“. (...) Matematika je oproti logice věda základní, logika je z ní vyvozena jako speciální případ a jako forma vyjadřovací. Matematika nepotřebuje logiky, poněvadž má vlastní zdroj poznatků matematických, matematickou intuici, kdežto logika potřebuje aspoň z části poznatků matematických (jako právě zákon vyloučeného třetího je abstrahován z konečných množství a pak generalizován; podobně též dictum de omni et nullo [, tj. zákon, že co lze předikovat o všech, lze předikovat i o každém jediném]). Intuice matematická je názor nekonečné řady číselné resp. Jejího neukončeného tvoření. Jí se umožňuje základní operace matematická, totiž konstrukce libovolného čísla v řadě. Je tedy intuice pravým plodným a pozitivním principem v lidském formálním poznávání, kdežto zásady jako principium exclusi tertii [, tj. zákon vyloučeného třetího,] mají použití jenom při nekonstruktivních, apagogických důkazech. Jsou tedy matematicky bezcenné.
Jan Patočka – Pojem evidence

pondělí 23. února 2009

Co je to čas?

Nullo ergo tempore non feceras aliquid, quia ipsum tempus tu feceras. et nulla tempora tibi coaeterna sunt, quia tu permanes; at illa si permanerent, non essent tempora. quid est enim tempus? quis hoc facile breviterque explicaverit? quis hoc ad verbum de illo proferendum vel cogitatione comprehenderit? quid autem familiarius et notius in loquendo conmemoramus quam tempus? et intellegimus utique, cum id loquimur, intellegimus etiam, cum alio loquente id audimus. quid est ergo tempus? si nemo ex me quaerat, scio; si quaerenti explicare velim, nescio: fidenter tamen dico scire me, quod, si nihil praeteriret, non esset praeteritum tempus, et si nihil adveniret, non esset futurum tempus, et si nihil esset, non esset praesens tempus. duo ergo illa tempora, praeteritum et futurum, quomodo sunt, quando et praeteritum iam non est et futurum nondum est? praesens autem si semper esset praesens nec in praeteritum transiret, non iam esset tempus, sed aeternitas. si ergo praesens, ut tempus sit, ideo fit, quia in praeteritum transit, quomodo et hoc esse dicimus, cui causa, ut sit, illa est, quia non erit, ut scilicet non vere dicamus tempus esse, nisi quia tendit non esse.
Augustinus – Confessiones

Nebylo tedy času, v němž jsi ničeho nedělal, poněvadž jsi čas sám vytvořil; žádný čas však
není Tobě souvěčný, poněvadž jsi nezměnitelný. Kdyby však čas zůstal takovým, již by to
nebyl čas. Co jest vlastně čas? Kdo to může snadno a krátce vysvětliti? Kdo jej může pochopiti svými myšlenkami, aby pak vyjádřil slovy? Co však jest v našich rozmluvách běžnější a známější než čas? A mluvíme-li o čase, rozumíme mu; rozumíme, i když jiný o něm mluví. Co jest tedy čas? Vím to, když se mne naň nikdo netáže; mám-li to však někomu vysvětliti, nevím. Přece však mohu tvrditi zcela určitě: „Nebyl by minulý čas, kdyby nic nemíjelo, nebyl by budoucí, kdyby nic nepřicházelo, nebyl by přítomný, kdyby nic netrvalo." Ale jak jsou ony dva časy, minulý a budoucí, když minulý již není a budoucí ještě není? Kdyby však přítomný čas byl stále přítomným a neměnil se v minulý, již by to nebyl čas, nýbrž věčnost. Musí-li se tedy přítomný čas, aby byl časem, proměniti v minulý, jak smíme o něm říci, že jest, když důvod jeho bytí jest v tom, že nebude? Nemůžeme tedy vskutku říci „Cílí jest," leč když spěje ke svému zániku?
Augustin – Vyznání

čtvrtek 19. února 2009

Základní akordy

Akordy jsou pro ladění GDAE. Hodí se tedy např. pro mandolínu. Vyzkoušel jsem je a tedy by tam neměla být chyba.

C
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-| |-x-|-| |-|-x-|
|-x-|-| |-|-|-| |-x-|-|
|-|.x-| |-|.x-x |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

D
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-| |-|-|-x |-|-|-|
x-|-|-x x-|-|-| x-|-|-x
|-|.|-| |-|.|-| |-|.x-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

E
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-| |-|-|-| x-|-|-|
|-|-x-| |-|-x-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.x-|
x-|-|-| x-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-x.|-| |-|.|-|
|-x-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

F
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-x |-|-|-| |-x-|-x
|-|-|-| |-|-|-| x-|-|-|
|-x.|-| |-x.x-| |-|.x-|
|-|-|-| |-|-|-x |-|-|-|
x-|.|-| x-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

G
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-| |-|-x-| |-|-|-x
|-|-x-| |-|-|-| |-|-x-|
|-|.|-x |-|.|-x |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

A
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-x-|-| |-x-|-| |-x-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-x-|
|-|.|-| x-|.|-| |-|.|-x
x-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

B
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-x |-|-|-| |-|-|-|
|-|-|-| x-x-|-| |-|-|-|
x-x.|-| |-|.x-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.x-| |-|.|-x |-x.|-x
|-|-|-| |-|-|-| x-|-|-|
|-|.|-| |-|.|-| |-|.x-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|

H
dur moll dur7
G D A E G D A E G D A E
======= ======= =======
|-|-|-| |-|-|-| |-|-|-|
x-x-|-| |-|-|-| |-|-|-|
|-|.|-| x-x.|-| |-|.|-|
|-|-x-| |-|-x-| |-|-|-|
|-|.|-x |-|.|-| |-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-x |-x-|-x
|-|.|-| |-|.|-| x-|.|-|
|-|-|-| |-|-|-| |-|-x-|

středa 18. února 2009

Filosofie, Matrix, Hilary Putnam a David Lewis

Budu psát jen o prvním filmu Matrix, protože na shlédnutí dalších dílů jsem neměl dost odvahy. Ve filmu Matrix pochopitelně žádná opravdová filosofie není, ale může filosofii posloužit. Četl jsem o matrixu jako o platónské jeskyni, ale to je poněkud scestné, protože v matrixu nic zásadního oproti realitě nechybí. O problémech reference však Matrix něco vypovídá. Cílem Putnamova článku bylo podle Lewisových slov „zkonstruovat bombu, jež hrozí smést z povrchu země veškerou realistickou filosofii tak, jak ji známe a milujeme“, kdežto Lewisovi jde o zneškodnění bomby. Jeden jeho argument je tento:

Když tedy přijmeme tezi, že referenci určují kauzální podmínky, nepotvrdí se intuice metafyzických realistů, že mozky v kádi se v podstatě neustále radikálně mýlí, ale naopak se ukáže, že přinejmenším některé ze situací, které jsou vydávány za jasné příklady radikálních omylů, ve skutečnosti žádnými omyly nejsou. Když si totiž mozek (v duchu) řekne „Jsem ve Vídni“ (přičemž mozek ani káď, v níž přebývá, ve Vídni nejsou), bylo by chybou myslet si, že se mýlí. Nemůžeme totiž jen tak beze všeho předpokládat, že jeho slova vyjadřují to, co by vyjadřovala v případě, že bychom je pronesli my; mozku v kádi totiž nemůžeme připsat žádné myšlenky týkající se Vídně – mozek k ní totiž nemůže referovat, protože je od ní ex hypothesi kauzálně izolován. (...) To, čemu říká „Vídeň“, není ono nám známé město, od něhož mozek kauzálně izolován, ale část počítačového programu, která je zdrojem jeho přesvědčení a znalosti týkající se „Vídně“.
David Lewis – Putnamův paradox

úterý 17. února 2009

Rebecca Goldsteinová o Gödelovu vystoupení

Gödel naznačil, jakou revoluci má v rukávu, teprve poslední den konference, jenž byl vyhrazen všeobecné diskusi o přednáškách ze dvou předchozích dnů. Po dobu všeobecné diskuse docela dlouho čekal a pak poznamenal jedinou, bezchybně zformulovanou větou, že je možné, že existují pravdivé, ale nedokazatelné aritmetické výroky, a že navíc dokázal, že existují: „Lze (předpokládáme-li [formální] konzistenci klasické matematiky) dokonce uvést příklady výroků (a dokonce výroků takových typů jako Goldbachův a Fermatův, které jsou skutečně kontextuálně [materiálně] pravdivé, ale ve formálním systému klasické matematiky nedokazatelné.“ To bylo vše. (...) Je to jeden z nejúžasnějších výkonů matematického myšlení, jaké kdy vznikly, úžasný jak jednoduchostí hlavní strategie, tak i složitostí detailů, zejména pečlivým překládáním metamatematiky do matematiky pomocí metody, jíž se začalo říkat Gödelovo číslování. (...) Nemáme žádné přímé svědectví o tom, jakým způsobem Gödel onoho říjnového dne v roce 1930 vystoupil, do jakého výrazového rámu zasadil to, co bylo matematickou analogií malby zobrazující podstatu samotné krásy. Ale víme toho o rozhodně necharismatickém Gödelovi a jeho averzi k vnějškové dramatičnosti a absolutní víře v sílu logických vývodů dost na to, abychom si mohli představit, jak to probíhalo. Střízlivý popis jádra věci bez jakýchkoli rétorických ozdob či zvýrazněného kontextu, který by posluchačům pomohl pochopit důležitost toho, co se jim sděluje. Žádný Sturm und Drang, jen upjatý génius pronášející strohou větu naznačující existenci důkazu nebývalé povahy a rozsahu. (...) Gödela měla vždy zklamat schopnost ostatních pochopit závěry, které pro ně pečlivě připravil, a jeho zkušenost v Královci musela znamenat velkolepé zklamání; odpovědí mu totiž bylo hrobové ticho. Přednesl svou bezchybně utvořenou větu ... a diskuse pokračovala, jako by se nic nestalo. Ve zredigovaném přepisu diskuse, který vyšel v časopise Erkenntnis (...), nenajdeme ke Gödelově příspěvku žádnou debatu. Ani do referátu o konferenci, který napsal Reichenbach, se žádná zmínka o Gödelovi nedostala. I když vezmeme v úvahu Gödelův anticharismatický způsob bytí ve světě, neměl by jeho příspěvek vyprovokovat vlnu znepokojení, asi takto: „Promiňte, pane Gödele, ale jaksi jsem získal dojem, že jste právě řekl, že jste dokázal existenci nedokazatelných matematických pravd. To jste samozřejmě nemohl říci, protože kromě toho, že je to v rozporu se všemi našimi názory na povahu matematické pravdy, to zní jako rozpor. Jak byste mohl dokázat, že existují matematické výroky, které jsou nedokazatelné a pravdivé zároveň? Nebyl by ten důkaz tím, že by ukázal, že jsou pravdivé, zároveň jejich důkazem, čímž by vyvracel vaše tvrzení, že důkaz dokazuje, že jsou nedokazatelné? Jako logik nemůžete tvrdit něco tak očividně rozporného. Co jste tedy doopravdy řekl?“ (...) Hrobové ticho, jehož se dočkalo Gödelovo oznámení, se ve zpětném pohledu jeví jako klasický příklad neschopnosti vnímat, kterou popisuje Thomas Kuhn ve Struktuře vědeckých revolucí: „Ve vědě… vycházejí novinky na pozadí, které je tvořeno očekávanými výsledky, najevo jen obtížně a narážejí na odpor. Zpočátku je obsahem zkušenosti pouze to, co bylo předjímáno a co je obvyklé, a to i tehdy, jsou-li pozorování stejná jako ta, při kterých dojde později k objevu anomálií.“
Rebecca Goldsteinová – Neúplnost. Důkaz a paradox Kurta Gödela.

pondělí 16. února 2009

Smullyan o paradoxech gödelovských soustav

Vezměme si paradox

TOTO TVRZENÍ NELZE DOKÁZAT

Co je na něm paradoxního? Pokud je tvrzení nepravdivé, pak není pravda, že je nelze dokázat, tedy je lze dokázat, a tak je pravdivé. V případě, že je nepravdivé, došli jsme k rozporu, tvrzení tedy musí být pravdivé. Právě jsme dokázali, že tvrzení je pravdivé. To, co říká, je tedy skutečně pravda, takže je nelze dokázat. Jak je tedy možné, že se nám je podařilo dokázat? Kde je háček v naší úvaze? V tom, že není rádné zaveden pojem dokazatelnosti. Jedním z hlavních cílů matematické logiky je přesné vymezení pojmu důkaz. To se však v nějakém absolutním smyslu nepodařilo, vždy se mluví o dokazatelnosti v nějaké soustavě. Dejme tomu, že máme nějakou soustavu S. Předpokládejme, že soustava S je bezesporná v tom smyslu, že každé tvrzení dokazatelné v soustavě S je skutečně pravdivé. Vezměme si tvrzení

TOTO TVRZENÍ NELZE DOKÁZAT V SOUSTAVĚ S

Teď už není vůbec paradoxní, je však přece jen velice zajímavé. Co je na něm zajímavého? Inu je to pravdivé tvrzení, které je v soustavě S nedokazatelné. Je to vlastní zjednodušená formulace Gödelova tvrzení X, na něž můžeme hleděl jako na tvrzení, které prohlašuje svou vlastní nedokazatelnost. Ne ovšem v absolutním smyslu, ale jen v dané soustavě. Ještě dodám něco o dvojitě gödelovské podmínce (...). Gödelův výsledek totiž platí nejen pro gödelovské soustavy (tj. v nichž ke každé definovatelné množině A existuje tvrzeni, které je pravdivé, právě když jeho Gödelovo číslo leží v A), ale i pro soustavy, kterým říkáme dvojitě gödelovské (v těch ke každým dvěma definovatelným množinám A, B existují taková dvě tvrzení X, Y, že X je pravdivé, právě když Gödelovo číslo Y leží v A, a Y je pravdivé, právě když Gödelovo číslo X leží v B). Ve dvojitě gödelovské soustavě můžeme (...) sestrojit takovou dvojici tvrzení X, Y, že X tvrdí, že Y je dokazatelné (tím míním, že X je pravdivé, právě když Y je dokazatelné), a Y tvrdí, že X není dokazatelné, jedno z nich (nevíme které) pak musí být pravdivé a nedokazatelné. Můžeme také sestrojit takovou dvojici X, Y, že X tvrdí, že Y je vyvratitelné a Y tvrdí, že X není vyvratitelné. Odtud pak plyne, že aspoň jedno z nich (nevíme které) je nepravdivé a nevyvratitelné. (...) Sestrojíme takovou dvojici X, Y, že X tvrdí, že Y je dokazatelné a Y tvrdí, Že X je vyvratitelné. Jedno z nich (nevíme které) je pak buď pravdivé a nedokazatelné, nebo nepravdivé a nevyvratitelné (nevíme, která možnost nastane).
Raymond Merrill Smullyan – Jak se jmenuje tahle knížka

neděle 15. února 2009

Putnam o modelech a o realitě

Quine kdesi poznamenal: „There is no saying absolutely what the numbers are, there is only arithmetic.“ Neboli: „Neexistuje zhola nic, co by vysvětlovalo, co jsou to čísla. Existuje jen aritmetika.“ Mělo by nás toto zjištění vehnat do náručí realismu?

To, co Skolem ve skutečnosti dokázal, se týká následující věci: žádná zajímavá teorie (ve smyslu teorie prvního řádu) nemůže sama o sobě a ze sebe vymezit předměty, o nichž pojednává – ani když nám jde jenom o vymezení „až na izomorfismus“. A jak [jsme] viděli, Skolemův argument je možné rozlišit a ukázat, že pokud referenci nedokážou jednoznačně určit teoretické podmínky, neurčíme je ani v případě, kdy k teoretickým podmínkám a požadavkům přidáme podmínky operační. Právě v tomto okamžiku se reference začíná jevit poněkud „okultní“ vlastnost; jako k čemu nelze zaujmout realistický postoj, aniž bychom věřili v existenci nějakých nepřirozených mentálních schopností. (...) Jiní zase pod vlivem Skolemova argumentu dospěli k závěru, že jazyk matematiky je interpretován jen z části a že totéž platí i pro výpovědi, v nichž v rámci empirické vědy mluvíme o „teoretických entitách“. Netýká se to však i „smyslových dat“? Na problém, na nějž jsme tu poukázali, se pokoušelo v různých dobách a na různých místech odpovědět mnoho filosofů – a téměř vždycky se tyto odpovědi staly živnou půdou platonismu nebo fenomenalismu.
Hilary Putnam – Modely a realita

Aby byl Putnamův postoj zcela jasný, uzavírá úvahu takto:

Modely nejsou žádná noumenální nekřtěnátka, která kdesi ve tmách čekají na to, až je někdo najde a pojmenuje; jsou to konstrukce vzniklé v rámci naší teorie a jejich jména jsou známa od okamžiku zrození.
Hilary Putnam – Modely a realita

sobota 14. února 2009

Valentinská

Lidoví tvůrci posvátných písní pamatovali i na svátek sv. Valentina. Tato píseň je ze Sušila, tedy je přinejmenším z počátku 19. stol., ale spíše je o dost starší. Zajímavé je, že píseň pojednává o přesném opaku (tj. od „odkochání“) toho, čím je tento svátek naplňován dnes.

úterý 10. února 2009

Goldfarb o Skolemovi a jeto teorému

Skolem dokázal teorém, že model spočetné množiny prvořádových výroků (jakou je třeba aritmetika nebo teorie množin) obsahuje spočetný podmodel těchto výroků. Přitom teorie množin nespočetné množiny postuluje. Goldfarb o tom píše toto:

Jak je dobře známo, Skolem svůj teorém používá k tomu, aby ukázal naprostou relativitu pojmů teorie množin. Je těžké, ne-li nemožné, z jeho stručných poznámek získat jakýkoli jasný argument proti existenci Cantorova nebe. Skolem se ani tolik nepře o pouhou víru v množiny, ale spíše o představu, že axiomatická teorie množin může sloužit ke skutečně principiálnímu, epistemologickému účelu. Na konci své práce říká, že tohoto výsledku dosáhl o sedm let dříve, ale nic nepublikoval, protože: „... jsem věřil, že je zcela zřejmé, že axiomatizace prostřednictvím množin není natolik přijatelným základem matematiky, aby se tím matematici zabývali.“ Ve skutečnosti Skolem kritizuje aspekt či podtón názorů na základy matematiky, ten aspekt, který jsme viděli u Russella: naše konání uvnitř formálního jazyka je způsob, jak dosáhnout nekonečna. Skolemovi jde o to, aby ukázal, že s formálním jazykem nic takového dosáhnout nemůžeme, a že nám formální explikace nemůže poskytnout plné porozumění. Skolem byl vytrvalým oponentem všech formalistických a logistických základových programů; zastával názor, že jakékoli základy, které v matematice existují, spočívají na tom, co nazýval „rekurzivním způsobem myšlení“. A při vývoji primitivní rekurzivní aritmetiky tudíž nebuduje pro tuto disciplínu formální systém, ale postupuje naprosto intuitivním způsobem.
Warren D. Goldfarb – Logika ve dvacátých letech: povaha kvantifikátoru

pondělí 9. února 2009

Frege píše Hilbertovi

Pro leckoho není pravda jen vlastnost bezrozporných axiomatických teorií a to ani v matematice. Bezrozpornosti jim připadá jen jako nutný požadavek a zdá se jim, že aby teorie byla pravdivá, musí být „o něčem“. Ale existuje i opačný názor – a to nikoli nový –, že každá bezesporná teorie „o něčem“ je. Dne 6. ledna 1900 Frege odpovídá Hilbertovi na jeho dopis takto:

Píšete: „Axiomy nazývám výroky, které jsou pravdivé, avšak nejsou dokazovány, protože jejich poznání vyvěrá ze zdroje velice odlišného od zdroje logického, ze zdroje, který může být nazýván prostorovou intuicí. Z pravdivosti těchto axiomů plyne, že nejsou jeden s druhým v rozporu.“ Tato vaše věta mě přišla skutečně zajímavá, protože pokud jde o mne, od počátku, co o těch věcech přemýšlím, píšu a přednáším, jsem si zvykl říkat pravý opak: nejsou-li libovolně ustanovené axiomy ve vzájemném rozporu se všemi svými důsledky, pak jsou pravdivé – věci definované těmito axiomy existují. To je pro mě kritérium pravdy a existence.

úterý 3. února 2009

Quine o dvou dogmatech empirismu a epistemologii

Moderní empirismus je do značné míry podmíněn dvěma dogmaty: jedním je víra v jakousi hlubokou propast mezi pravdami analytickými, zakládajícími se na významu nezávisle na skutečnosti a pravdami syntetickými, spočívajícími na skutečnosti. Druhým dogmatem je redukcionismus, tj. víra, že každý smysluplný výrok je ekvivalentní určitému logickému konstruktu složenému z termínů, které se vztahují k bezprostřední zkušenosti. Vzdáme-li se těchto dogmat, pak se, jak uvidíme, rozplynou hranice mezi metafyzikou a přírodními vědami a přiblížíme se k pragmatismu.
Willard van Orman Quine – Dvě dogmata empirismu

Matematika není převoditelná na (klasickou) logiku, což už více než 70 let není žádné překvapení. Přesto by byl skvělý výsledek matematického bádání, kdyby se tento převod povedl.

Tento výjimečný výsledek však není dosažitelný, protože matematika je převeditelná pouze na teorii množin a nikoli na logiku v pravém smyslu. Tato redukce přesto zvyšuje jasnost, ale jen díky odhalení nových vzájemných vztahů, a nikoli proto, že by výsledné termíny analýzy vynikali jasností nad jiné. Co se týká výsledných pravd, axiómů teorie množin, ty se vyznačují menší zřejmostí a jistotou než většina matematických teorémů, které z nich můžeme odvodit. Navíc již víme z Gödelova díla, že žádný konzistentní axiomatický systém nemůže matematiku pokrýt, a to ani v případě, že se vzdáme představy něčeho, co je samo o sobě zcela zřejmé. Redukce v základech matematiky zůstává i nadále fascinující z matematického a filosofického pohledu, avšak neposkytuje to, co by od ní očekával epistemolog: neodhaluje totiž, na čem matematické poznání spočívá, jak je matematická jistota možná.
Willard van Orman Quine – Naturalizace epistemologie