pondělí 26. dubna 2010

Je matematika psychologie?

Na chemii se (s přimhouřením jednoho oka) můžeme dívat jako na speciální část fyziky, ale, ačkoli jsou sochy dělané z kamene, není sochařství mineralogie. Matematická práce je nepochybně výsledkem činnosti lidské psychiky. Je to s matematikou jako s chemií, nebo jako se sochařstvím. Husserl nabízí takovouto odpověď:

Und trotz dieses "psychologischen Ursprungs" der arithmetischen Begriffe erkennt es jeder als eine fehlerhafte μετάβασις an, daß die mathematischen Gesetze psychologische sein sollen. Wie ist das zu erklären? Hier gibt es nur eine Antwort. Mit dem Zählen und dem arithmetischen Operieren als Tatsachen, als zeitlich verlaufenden psychischen Akten, hat es natürlich die Psychologie zu tun. Sie ist ja die empirische Wissenschaft von den psychischen Tatsachen überhaupt. Ganz anders die Arithmetik. Ihr Forschungsgebiet ist bekannt, es ist vollständig und unüberschreitbar bestimmt durch die uns wohlvertraute Reihe idealer Spezies 1, 2, 3 . . . Von individuellen Tatsachen, von zeitlicher Bestimmtheit ist in dieser Sphäre gar keine Rede. Zahlen, Summen und Produkte von Zahlen (und was dergleichen mehr) sind nicht die zufällig hier und dort vor sich gehenden Akte des Zählens, des Summierens und Multiplizierens usw. Selbstverständlich sind sie auch verschieden von den Vorstellungen, in denen sie jeweils vorgestellt werden. Die Zahl Fünf ist nicht meine oder irgend jemandes anderen Zählung der Fünf, sie ist auch nicht meine oder eines anderen Vorstellung der Fünf. In letzterer Hinsicht ist sie möglicher Gegenstand von Vorstellungsakten, in ersterer ist sie die ideale Spezies einer Form, die in gewissen Zählungsakten auf Seiten des in ihnen Objektiven, des konstituierten Kollektivum, ihre konkreten Einzelfälle hat. In jedem Falle ist sie ohne Widersinn nicht als Teil oder Seite des psychischen Erlebnisses, somit nicht als ein Reales zu fassen.
Edmund Husserl – Logische Untersuchungen I.

Navzdory tomuto "psychologickému původu" aritmetických pojmů uznává každý jako chybnou μετάβασις, že by matematické zákony měly být psychologické. Jak to vysvětlit? Zde existuje pouze jedna odpověď. Počítáním a aritmetickým operováním jakožto fakty, jakožto časově probíhajícími psychickými akty, se samozřejmě zabývá psychologie. Je přece empirickou o psychických faktech vůbec. Zcela jinak tomu je v aritmetice. Její výzkumné pole je známé, je úplné a nepřekročitelně určené nám dobře známou řadou ideálních species 1, 2, 3, ... O individuálních faktech, o časové určenosti se v této sféře vůbec nikde nemluví. Čísla, součty a součiny čísel (a podobně) nejsou nahodile tu či onde probíhající akty počítání, sčítání a násobení atd. Také se pochopitelně liší od představ, v nichž si je někdo představuje. Číslo pět není mé či někoho jiného počítání do pěti, není to ani má či někoho jiného představa pětky. Z hlediska představ je číslo pět možným předmětem aktů představování, z hlediska počítání je ideálním spesies, která má v jistých aktech počítání své konkrétní jednotlivé případy - podobně jako např. species barvy červeň v počitkových aktech červené. V každém případě ho nelze, aniž by to bylo protismyslné, pojímat jako část či stránku psychického prožitku, tudíž jako něco reálného.
Edmund Husserl – Logická zkoumání I.

pátek 23. dubna 2010

Mathematical Expressions Generator

The following python code generates mathematical expressions using simple (slightly modified) generative grammar.


def gen(grammar, N, N_max, S):
if N > N_max:
return []
result = []
terminal = True
for rule in grammar:
for i in range(0, len(S)):
ch = S[i]
if ch == rule[0]:
Snew = S[0:i] + rule[1] + S[(i + 1):len(S)]
result = result + gen(grammar, N + 1, N_max, Snew)
terminal = False
if terminal:
return [S]
return list(set(result))

grammar = [
["S", "(S + S)"],
["S", "(S * S)"],
["S", "(S - S)"],
["S", "(-S)"],
["S", "x"],
["S", "y"],
["S", "z"],
["S", "0"],
["S", "1"],
["S", "2"],
["S", "3"],
]

for f in gen(grammar, 0, 4, "S"):
print f


Output:

(y * (-0))
(3 + 1)
((-z) - 2)
((-y) * z)
(-(3 - x))
((-3) - z)
(3 * 1)
...
(-(2 * 2))

čtvrtek 15. dubna 2010

Dvě definice nekonečna

Pojem nekonečna se zde týká jen množin. Ale ani v tomto případě není pojem nekonečna jednoznačný, protože existuji přinejmenším dvě definice:

Definice. (Dedekind) Množina a je nekonečná, jestliže existuje množina ba taková, že existuje bijetkivní zobrazení z množiny b do množiny a.

Definice. (Tarský) Množina a je nekonečná, jestliže existuje ∅ ≠ b ⊆ P(a), kde P(a) je potenční množina množiny a, taková, že b nemá maximální prvek ve smyslu inkluze.

V Zermelo­-Fraenkelově teorii množin je dokazatelné, že každá množina konečná podle Tarského je také konečná podle Dedekinda (...). Máme­li k dispozici axiom výběru, je možno dokázat i druhou implikaci: Jestliže x není konečná podle Tarského, ukážeme matematickou indukcí, že každé přirozené číslo je možno vzájemně jednoznačně zobrazitelné do množiny x. Předpoklad AC zaručí, že množina x má nějakou mohutnost κ ; evidentně ω ∈ κ. Takže množinu ω můžeme vzájemně jednoznačně zobrazit na podmnožinu množiny x a na základě tohoto zobrazení sestrojíme vzájemně jednoznačné zobrazení množiny x na její vlastní část (ω lze vzájemně jednoznačně zobrazit např. na množinu sudých čísel), neboli x není konečná podle Dedekinda.
Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

V ZF je tedy vše v pořádku, protože definice jsou ekvivalentní. ZF teorie množin však není jediná teorie množin.

Naším cílem je nejprve ukázat obecnou metodu konstrukcí interpretací jak teorie množin bez axiomu fundovanosti v teorii množin bez axiomu fundovanosti, tak také interpretací teorie množin s atomy v teorii množin s atomy. Tuto obecnou metodu pak použijeme pro konstrukci tří interpretací, v jejichž smyslu bude po řadě platit:
(1) existuje množina, lineární uspořádání na každé jejíž části je dobrým uspořádáním, a tato množina není konečná podle Tarského, ale je konečná podle Dedekinda (viz dále); navíc tato množina nemá spočetnou část, a tedy neexistuje ani vzájemně jednoznačné zobrazení naší množiny do ω, ani vzájemně jednoznačné zobrazení ω do naší množiny;
(2) existuje množina, kterou lze lineárně uspořádat, kterou však nelze uspořádat dobře;
(3) sjednocení spočetně mnoha spočetných množin nemusí být spočetnou množinou.
Poznamenejme, že z kteréhokoli výše uvedeného tvrzení plyne negace axiomu výběru (...).
Antonín Sochor – Metamatematika teorií množin

Příslušná ukázka z knihy Metamatematika teorií množin je zde.

úterý 13. dubna 2010

Důležitý homeomorfismus

Eukleidovský n-rozměrný prostor je množina En = {(x1, ..., xn) | xi) ∈ R} a n-rozměrná sféra je množina Sn = {x| xEn+1, ||x|| = 1}. Následující tvrzení poskytuje mj. návod, jak si představit situaci, kdy se rovnoběžky protínají v nekonečnu, anebo to, že v nekonečnu se neprotínají jen rovnoběžky, ale všechny přímky v eukleidovském prostoru.

Tvrzení. Buď s libovolný bod sféry Sn. Potom Sn - {s} je homeomorfní s En.

Důkaz. (...) Uvažujme zobrazení

Enf Sn - {(0, ..., 0, 1)} →g En

daná předpisy

f(x) = (4 x1, ..., 4 xn, x2 - 4) / (x2 + 4),

kde x2 je skalární součin x x,

g(y) = 2(y1, ..., yn) / (1 - yn + 1).

Zobrazení f skutečně zobrazuje s En do s Sn - {(0, ..., 0, 1)}, protože

||f(x)|| = √(16 x2 + x4 - 8 x2 + 16) / (x2 + 4) = 1

a

(x2 - 4) / (x2 + 4) ≠ 1.

Zobrazení f a g jsou zřejmě spojitá a snadno se ověří, že platí fg(x) = x, gf(x) = x.


Více (o moc více) v knize Podprostory Euklidovských prostorů od Aleše Putra.

čtvrtek 1. dubna 2010

Cicero o probabilismu

Occuritur autem nobis, et quidem a doctis et eruditis quaerentibus, satisne constanter facere videamur, qui, cum percipi nihil posse dicamus, tamen et aliis de rebus disserere soleamus et hoc ipso tempore praecepta officii persequamur. Quibus vellem satis cognita esset nostra sententia. Non enim sumus ii, quorum vagetur animus errore nec habeat umquam quid sequatur. Quae enim esset ista mens vel quae vita potius, non modo disputandi, sed etiam vivendi ratione sublata? Nos autem, ut ceteri alia certa, alia incerta esse dicunt, sic ab his dissentientes alia probabilia, contra alia dicimus. Quid est igitur, quod me impediat ea, quae probabilia mihi videantur, sequi, quae contra improbare atque adfirmandi arrogantiam vitantem fugere temeritatem, quae a sapientia dissidet plurimum? Contra autem omnia disputantur a nostris, quod hoc ipsum probabile elucere non possit, nisi ex utraque parte causarum esset facta contentio.
Marcus Tullius Cicero – De officiis

Od lidí vzdělaných však slýchám námitku, zda jednám dosti důsledně, když na jedné straně tvrdím, že o ničem nelze nabýt úplné jistoty, a přece mezi jinými otázkami, o nichž pojednávám, podávám nyní dokonce i předpisy o povinnostech. Velice rád bych těmto lidem objasnil své stanovisko. Nejsem věru z těch, jejichž duch tápe v nejistotě a nemá nikde pevný cíl. Vždyť jaké by to bylo myšlení, jaký by to byl život, kdyby nám byla odňata možnost nejen rozumné výměny názorů, ale vůbec života rozumného! Já se liším od jiných, kteří některé věci nazývají jistými s jiné nejistými, jen tím, že jedny nazývám pravděpodobnými a jiné nikoliv. Co mi tedy brání, abych se nedržel toho, co se mi zdá pravděpodobným, a neodmítal to, co se mi naopak zdá pravděnepodobným, a abych se nevaroval domýšlivé jistoty ve svých tvrzeních, vyhýbaje se tak nerozvážnosti, jež je pravým opakem moudrosti? Naše škola však uvádí všechno v pochybnost jenom proto, že sama pravděpodobnost se nemůže stát zřejmou jinak, než když se zváží důvody uváděné z obou stran.
Marcus Tullius Cicero – O povinnostech