středa 22. září 2010

Proč Kant mohl pokládat matematické věty za syntetické?

V Kantových dnech byla matematika samotná logicky hluboko pod úrovní matematiky dnešní. Je naprostá pravda, že kdokoli se pokusí odvodit např. Eukleidovu sedmou větu z Eukleidových axiómů bez použití obrazce, zjistí, že je to neproveditelný úkol. V osmnáctém století pravděpodobně neexistoval ani jeden jediný logicky správný exemplář matematického uvažování, chci říci usuzování, ve kterém by byl závěr správně odvozen z autorem explicitně stanovených premis. Protože se však správnost závěru zdála nepochybná, bylo přirozené předpokládat, že matematický důkaz byl něco jiného než logický důkaz. Faktem ale je, že celý rozdíl nespočívá v ničem jiném, než v tom, že matematické důkazy byly zkrátka neplatné. Při důkladnějším zkoumání se ukázalo, že mnohé z vět, jež byly podle Kanta nezpochybnitelnými pravdami, byly ve skutečnosti nepravdivé. A ještě větší třída vět – např. výše zmíněná Eukleidova sedmá věta – může být rigidně odvozena z určitých premis, ačkoli není nijak jasné, zdali jsou tyto premisy samy pravdivé nebo nepravdivé.
Bertrand Russell – Principia Mathematica

neděle 19. září 2010

Logika rozkazovacího způsobu

Klasická logika odpovídá oznamovacímu způsobu. O tom, jaké problémy mohou nastat, pokud se použije na rozkazovací způsob, svědčí následující příklad.

Víme, že v rámci klasické logiky jsou takřka triviálně správné úsudkové formy

A

A ∨ B

Bylo by ale rozumné říci, že díky tomu je zjevně platná i následující úsudková forma?

A!

(A ∨ B)!

Kladná odpověď je problematická.Konkretizujeme-li A jako výrok Odesíláš dopis a B jako Pálíš dopis, dostaneme úsudek:

Odešli tento dopis!

Odešli nebo spal tento dopis!
Vladimír Svoboda, Jaroslav Peregrin – Od jazyka k logice


Přesněji a lépe:

S odlišností interpretace příkazů a norem souvisí i tzv. Rossův paradox, který zároveň ukazuje, že výrokové spojky uvnitř modálních operátorů nelze překládat do přirozeného jazyka prvoplánově. Již v nejslabší námi uvažované deontické logice K je dokazatelná formule

(12) O A → O(A ∨ B).

Interpretujeme-li A jako „pošli tento dopis“ a B jako „spal tento dopis“, vyplývá při naivní interpretaci z (12) nesmyslná, že z příkazu „pošli tento dopis“ vyplývá příkaz „pošli nebo spal tento dopis“. Při správné interpretaci podle naznačené kripkovské sémantiky má však formule (12) rozumný význam (jestliže ve všech deonticky perfektních stavech světa platí A, pak v nich – pochopitelně – platí také AB).
Libor Běhounek – Formální sémantika logiky modalit