V Bolzanových Paradoxech nekonečna (ke stažení zde) se lze dočíst toto:
Tvrdím totiž: dvě množiny, obě nekonečné, mohou být k sobě v takovém vztahu, že je na jedné straně možno spojit ve dvojici každou věc, náležející jedné z nich, s věcí, náležející druhé z nich, tak, aby vůbec žádná věc v obou množinách nezůstala bez spojení ve dvojici a také žádná aby se nevyskytovala ve dvou nebo více dvojicích; a přitom je na druhé straně možno, aby jedna z obou množin obsahovala druhou jako svůj pouhý díl, takže množství, která ony množiny představují, jsou k sobě v nejrozmanitějších poměrech, považujeme-li věci v nich za stejné, tj. za jednotky.
Bernar Bolzano – Paradoxy nekonečna
Každé dvě nekonečné množiny lze na sebe vzájemně jednoznačně zobrazit. Toto tvrzení budeme nazývat generálním kolapsem.
Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky
Jenže každý, kdo někdy viděl Cantorův diagonální důkaz, namítne, že Cantor vyvrátil Bolzanovu domněnku. Skutečně vyvrátil?
V tomto okamžiku bychom měli namítnout, že množina všech bodů ležících na přímce (...) je nespočetná, to znamená, že její prvky nelze očíslovat přirozenými čísly, což přeci dokázal již Cantor. Odtud plyne, že generální kolaps je sporný (a tedy nepravdivý). Avšak pozor, Cantor nedokázal spornost generálního kolapsu sama se sebou, ale s existencí množiny všech bodů ležících na dané úsečce.
Petr Vopěnka – Vyprávění o kráse novobarokní matematiky
Žádné komentáře:
Okomentovat